По-видимому, название "Чивыркуй" произошло от эвенкийского "чивир", что означает "извиваться, ворочаться". Действительно, река сильно меандрирует, извивается.
По версии М. Н. Мельхеева "чивыркуй" произошло от бурятского "шэбэрху" — "заросший густым лесом".